Geometry, Relativity and the Fourth Dimension

Author: Rudolf v. B. Rucker

Official Book link: Geometry, Relativity and the Fourth Dimension

Chapter 1: The Fourth Dimension

Reading

作为本书第一章，作者用《平面国》里的例子生动形象的诠释了如何去想象一个四维超体（Hypercube and Hypersphere）。

小时候好像还看过这本《平面国》，但没有想到还能这样子引申。

在《平面国》里，大家都是在一个平面上生活的，直到有一天来了个“球体”，它对方块 A 说它自己是一个球体，并且通过其身体在平面上下穿梭，使得方块 A 眼里所看到的“圆形”放大缩小甚至消失，来证明自己是个球体，而并非平面国原本的生物。其实这个道理不仅在平面国和里面的“直线国”里通用，它也可以放在三维世界和四维世界之间。

现在假设这个世界上有一个四维的球体，那它其实可以在我们眼中，比如我现在正面对着图书馆的桌子上，凭空从一个小圆点开始，变成一个小球，再不断变大，然后再缩小，直至消失，可以大胆想象一下这个过程。这就是四维物体在它们的世界里进行平滑运动，在我们眼里可能发生的事情。以及消失之后，可能瞬间从另一块区域，比如我旁边的地板上（其实甚至可以在我们的身体里，但感觉有点痛苦和抽象了），突然凭空出现。

数学上，一个四维超球面满足：

$$
x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = R^2
$$

因为我们只能待在某个三维截面，比如 $w=c$，那么看到的就是：

$$
x^2 + y^2 + z^2 = R^2 - c^2
$$

是一个半径为 $\sqrt{R^2-c^2}$ 的球体，更有甚者，如果这个四维超球面沿着 $w$ 方向移动时，随着 $c$ 的变化，我们会观察到这个球体的半径在变化。

当然这只是最基础的想象。如果我们再注意到，在我们的世界里，二维的纸张可以进行弯曲和折叠，我们甚至可以将一支笔直接戳穿这个纸张，这个笔就同时出现在了同一平面的两侧。那么同样的，我们的三维世界有可能在四维物体的眼里，也是可以进行弯曲和穿越的。实际上，在广义相对论中，引力本身就可以理解为时空几何的弯曲。不过这里的“弯曲”是内蕴几何意义上的曲率，并不意味着我们的三维空间真的像纸张一样弯进了某个第四空间维度。

书里面还有个《平面国》的例子，就是方块 A 将自己在三维空间中进行旋转！产生了一个镜像的自己。这里因为我们在三维的视角来看，可以观察到二维旋转之后的“镜像”，但是如果我们三维的物体在四维空间下旋转然后得到“镜像”会是什么样的呢？

这里可以引申出”手性“，即在正常的三维世界里，不管你的左手发生如何的平移、旋转、缩放，都无法变成右手。但是现在假设引入四维空间，让你的左手在四维空间里面旋转，那么就有可能变成真正意义上的右手。这个事情非常恐怖地具体。如果将一个人在四维空间里旋转，那么他的左手和右手会反过来，心脏的位置也会翻过来，甚至 DNA 和分子的左右手性也会反过来。

Problems

(1) 完成以下表格：

这里的粗体表示我填入的答案。四维甚至五维的点线面甚至体数是怎么算出来的呢？主要是依靠升维的过程：我们考虑一个正方形变成一个立方体的时候，会先复制一个新的正方形放到旁边，然后将两个正方形的几个顶点一一连线，得到新的立方体。那么三维立方体升维成四维超立方体的时候也是一样的，先复制一个立方体，然后每个顶点一一连线（当然连线产生的新内容也要算进去）。

由此以来我们可以得到数学式子。假设 $(V,E,F,C)$ 分别代表点、边、面、体数，那么每次升维可以有递推：

$$
\begin{aligned}
V’ &= 2V \\
E’ &= 2E+V \\
F’ &= 2F+E \\
C’ &= 2C+F
\end{aligned}
$$

甚至我们还可以给出超体数、超超体数等等，反正都是迭代。

(2) 定位下图超立方体中的 $8$ 个立方体。

我的想法是，首先观察到上下左右各一个横平竖直的正方形，然后它们两两之间连线会形成四个正方体，然后再看到左上、右上、右下、左下各一个斜着的正方体，两两之间再连线形成四个正方体。一共是八个正方体。

但其实我觉得，将四维超立方体投影到二维平面上的图形，并不是很准确，但碍于书本纸张的表达方式，好像也只能这样画图。

(3) 一个边长为 $2$ 的超立方体的超体积是多少？

我们知道，边长为 $a$ 的正方形面积为 $a^2$，立方体体积为 $a^3$，那么我们可以类比出相同边长的超立方体的超体积为 $a^4$，那么这个题答案就是 $2^4=16$。

但数学是严谨的，简单的类比肯定不能说服大家。

我们考虑边长为 $a$ 的超立方体为：

$$
Q = [0,a]^4 = \{ (x_1,x_2,x_3,x_4) | 0<x_i<a \}
$$

它的四维体积被定义为：

$$
\text{Vol}_4(Q) = \int_Q 1 dV = \int_0^a \int_0^a \int_0^a \int_0^a dx_1 dx_2 dx_3 dx_4
$$

逐层积分后能得到答案 $a^4$，也可以根据 Fubini 定理，

$$
Vol_4(Q) = \prod_{i=1}^4 \int_0^a dx_i = a^4
$$

还有一种几何+线性代数的证明。

我们先规定单位四维超立方体的 $[0,1]^4$ 的体积为 $1$，现在把整个空间缩放：

$$
T(x_1, x_2, x_3, x_4) = (ax_1, ax_2, ax_3, ax_4)
$$

其实就是对其做线性变换矩阵

$$
A = \begin{bmatrix}
a & 0 & 0 & 0 \\
0 & a & 0 & 0 \\
0 & 0 & a & 0 \\
0 & 0 & 0 & a
\end{bmatrix}
$$

其行列式

$$
\det(A) = a^4
$$

而线性变换会把 $n$ 维体积乘上 $\lvert \det(A) \rvert$，所以

$$
\text{Vol}_4 \left( [0,a]^4 \right) = \lvert \det(A) \rvert \cdot \text{Vol}_4 \left( [0,1]^4 \right) = a^4 \cdot 1 = a^4
$$

当然，以上两种方法都能完全应用到任意 $n$ 维的体积。

(4) 一个半径为 $r$ 的超球体的超体积被认为是

$$
V_4 = \int_{-r}^r \frac43 \pi \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^3 dx
$$

能不能解释一下这个公式是从何而来。

首先考虑三维空间中球体的体积公式：

$$
V_3 = \int_{-r}^r \pi \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2 dx
$$

为什么会是这样的呢，因为我们可以想象三维坐标里的一个球体，其球心在原点，半径为 $r$。那么我们可以如下图所示将其切割（借用原书其他地方的图）

从下到上，每一层的圆的面积与其所在高度有关，假设竖着为 $z$ 轴，那么高度为 $x$ 的圆的面积（假设其半径为 $R$）为 $\pi R^2 = \pi \left( \sqrt{r^2-x^2} \right)^2$，然后再将它们积起来，得到球体的体积：

$$
V_3 = \int_{-r}^r \pi \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2 dx = \frac43 \pi r^3
$$

那么在四维空间 $(x,y,z,w)$ 中，考虑一个以原点为中心、半径为 $r$ 的四维超球体：

$$
x^2+y^2+z^2+w^2 \le r^2
$$

那么我们假设固定某一个 $w$ 之后，其变为

$$
x^2+y^2+z^2 \le r^2 - w^2
$$

即一个半径为 $R=\sqrt{r^2-w^2}$ 的球体。我们这些体积为 $V_3(R)=\frac43 \pi r^3$ 的球体，在 $w$ 轴上厚度为 $dw$，让其沿着 $w$ 轴从 $-r$ 到 $r$ 堆叠起来，得到四维超球体的超体积：

$$
V_4 = \int_{-r}^r \frac43 \pi \left(\sqrt{r^2-w^2}\right)^3 dw
$$

这个积分式子可以用三角换元轻松解开，答案即为

$$
V_4 = \frac12 \pi^2 r^4
$$