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动态规划（Dynamic Programming, DP）是解决许多经典问题的强大工具。以下是一些经典的动态规划问题，涵盖了不同的应用场景和难度级别：
1. 背包问题（Knapsack Problem）
- 问题描述：给定一组物品，每个物品有重量和价值，在不超过背包容量的情况下，选择物品使得总价值最大。
- 变种：
- 0-1 背包问题（每个物品只能选一次）。
- 完全背包问题（每个物品可以选多次）。
- 多重背包问题（每个物品有数量限制）。
- 状态转移方程（0-1 背包）：
$$dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])$$ 其中 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品在容量 $j$ 下的最大价值。
2. 最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）
- 问题描述：给定两个字符串，找到它们的最长公共子序列（不要求连续）。
- 状态转移方程：
$$dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j-1] + 1 & \text{if } s1[i] = s2[j] \\max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) & \text{otherwise}\end{cases}$$其中 $dp[i][j]$ 表示 $s1$ 的前 $i$ 个字符和 $s2$ 的前 $j$ 个字符的 LCS 长度。
3. 最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）
- 问题描述：给定一个数组，找到最长的严格递增子序列。
- 状态转移方程：
$$dp[i] = \max(dp[i], dp[j] + 1) \quad \text{for all } j < i \text{ and } arr[j] < arr[i]$$ 其中 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素结尾的最长递增子序列的长度。
4. 编辑距离（Edit Distance）
- 问题描述：给定两个字符串，计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数（插入、删除、替换）。
- 状态转移方程：
$$dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j-1] & \text{if } s1[i] = s2[j] \\min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1 & \text{otherwise}\end{cases}$$ 其中 $dp[i][j]$ 表示将 $s1$ 的前 $i$ 个字符转换为 $s2$ 的前 $j$ 个字符所需的最小操作次数。
5. 矩阵链乘法（Matrix Chain Multiplication）
- 问题描述：给定一系列矩阵，找到一种括号化方案，使得矩阵乘法的计算次数最少。
- 状态转移方程：
$$dp[i][j] = \min_{i \leq k < j} (dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1] \cdot p[k] \cdot p[j])$$ 其中 $dp[i][j]$ 表示从第 $i$ 个矩阵到第 $j$ 个矩阵的最小计算次数，$p$ 是矩阵的维度数组。
6. 硬币找零问题（Coin Change）
- 问题描述：给定一组硬币面额和一个目标金额，计算凑成目标金额的最少硬币数。
- 状态转移方程：
$$dp[i] = \min(dp[i], dp[i - coin] + 1) \quad \text{for all } coin \leq i$$ 其中 $dp[i]$ 表示凑成金额 $i$ 所需的最少硬币数。
7. 最大子数组和（Maximum Subarray Sum）
- 问题描述：给定一个数组，找到连续子数组的最大和。
- 状态转移方程：
$$dp[i] = \max(dp[i-1] + arr[i], arr[i])$$ 其中 (dp[i]) 表示以第 (i) 个元素结尾的最大子数组和。
8. 最优二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree）
- 问题描述：给定一组键和它们的搜索概率，构建一棵二叉搜索树，使得搜索代价最小。
- 状态转移方程：
$$dp[i][j] = \min_{i \leq k \leq j} (dp[i][k-1] + dp[k+1][j]) + \sum_{l=i}^j p[l]$$ 其中 $dp[i][j]$ 表示从第 $i$ 个键到第 $j$ 个键的最小搜索代价。
9. 旅行商问题（Travelling Salesman Problem, TSP）
- 问题描述：给定一组城市和它们之间的距离，找到一条最短路径，使得旅行商访问每个城市一次并返回起点。
- 状态转移方程：
$$dp[mask][i] = \min_{j \in \text{unvisited}} (dp[mask \oplus (1 << j)][j] + dist[i][j])$$ 其中 $dp[mask][i]$ 表示在状态 $mask$ 下，从城市 $i$ 出发的最短路径。
总结
动态规划问题通常具有 重叠子问题 和 最优子结构 的特点。通过定义状态、状态转移方程和边界条件，可以高效地解决这些问题。以上列出的经典问题涵盖了动态规划的多种应用场景，是学习和掌握动态规划的重要基础。